Методика введения показательной функции

Изучение темы «Показательная функция» в курсе алгебры и начала анализа предусматривает знакомство учащихся с вопросами:

Обобщение понятия о степени; понятие о степени с иррациональным показателем; решение иррациональных уравнений и их систем; показательная функция, ее свойства и график; основные показательные тождества:

; ;

тождественные преобразования показательных выражений; решение показательных уравнений, неравенств и систем; понятие об обратной функции; функция, ее свойства и график;

Основная цель – привести в систему и обобщить имеющиеся у учащихся сведения о степени, ознакомить их с показательной функцией и ее свойствами, научить решать несложные показательные уравнения, их системы (содержащие также и иррациональные уравнения).

Рассматриваются свойства и график показательной функции. Систематизация свойств указанной функции осуществляется в соответствии с принятой схемой исследования функций. Приведен краткий обзор свойств степенной функции в зависимости от различных значений показателя р.

Особое внимание уделяется показательной функции как той математической модели, которая находит наиболее широкое применение при изучении процессов и явлений окружающей действительности. Рассматриваются примеры различных процессов (например, радиоактивный распад, изменение температуры тела); показывается, что решение дифференциальных уравнений, описывающих эти процессы, является показательная функция. В связи с этим для показательной функции дается формула производной, вывод которой проводится с привлечением интуитивных представлений учащихся.

В ходе изучения свойств показательной функцией учащиеся систематически решают простейшие показательные уравнения и неравенства, а также иррациональные уравнения. По мере закрепления соответствующих умений целесообразно также предлагать им уравнения и неравенства, сводящиеся к простейшим в результате несложных тождественных преобразований.

Появление вычислительной техники в школе открыло возможности, которые связаны с интеграцией новых информационных технологий в учебный процесс по различным школьным предметам. В настоящее время применение различных видов прикладного программного обеспечения носит преимущественно эпизодический характер.

На изучение темы отводится 6 часов. Поурочное планирование следующее:

1 урок – лекция;

2 урок – практикум по решению задач.

Решение показательных уравнений и неравенств:

1 урок – решение типовых задач;

2 урок – практикум по решению задач;

3 урок – практикум по решению задач.

4 урок – закрепление изученного материала по теме «Показательная функция».

Ознакомление учащихся с показательной функцией начиная с изучения свойств степеней.

Курс алгебры знакомит учащихся с понятием степени с рациональным показателем. Таким образом для любого основания степени (где , ). Можно построить функцию: , , область определения которой – множество действительных чисел, необходимо ввести определение, степени с иррациональным показателем. Используемое свойство степени с основным, например, большим единицы (возрастании), рациональное приближение иррационального числа α: r1< α< r2. Исходя из графического изображения зависимости показателя степени и значения степени, показывается, что найдется такое значение y, которое будет наибольшим среди всех ar1 и наименьшим среди всех ar2, которое можно считать значением aα.

Затем формируется определение показательной функции: функция, заданная формулой y=ax (, ), называется показательной функцией с основанием a, и формулируемые основные свойства: D(ax)=R; E(ax)=RТ; ax возрастает при a>1 и ax убывает при 0<a<1; напоминаются основные свойства степеней. Т.о. показательная функция есть систематизация, обобщение и расширение знаний учащихся о свойствах степени.

В качестве приложения свойств показательной функции рассматриваются решения простейших показательных уравнений и неравенств.

Функция – новый математический объект для учащихся.

1. Область определения показательной функции множество действительных чисел.