Прием обобщения

Использование величин для формирования у школьников обобщенных способов действий – один из возможных вариантов построения начального курса математики. Но эту же задачу можно решать, выполняя различные действия и с множествами предметов. Примеры таких ситуаций нашли отражение в статьях Г. Г. Микулиной.

Она советует для формирования понятия «больше на» использовать ситуацию с множествами предметов: детям предлагается пачка красных карточек. Нужно сложить пачку из зеленых карточек так, чтобы в ней было вот на столько (показывается пачка синих карточек) больше, чем в пачке красных. Условие: карточки пересчитывать нельзя.

Пользуясь способом установления взаимно–однозначного соответствия, учащиеся выкладывают в зеленой пачке столько же карточек, сколько их в красной, и добавляют к ней еще третью пачку (из синих карточек).

Наряду с эмпирическим и теоретическим обобщениями в курсе математики имеют место обобщения–соглашения. Примерами таких обобщений являются правила умножения на 1 и на 0, справедливые для любого числа. Их обычно сопровождают пояснениями:

«в математике договорились .», «в математике принято считать .».

• Задание 91. Используя содержание курса начальной математики, придумайте ситуации для теоретического и эмпирического обобщения при изучении какого–либо понятия, свойства или способа действия.

3.7. Способы обоснования истинности суждений

Непременным условием развивающего обучения является формирование у учащихся способности обосновывать (доказывать) те суждения, которые они высказывают. В практике эту способность обычно связывают с умением рассуждать, доказывать свою точку зрения.

Суждения бывают единичными: в них что–то утверждается или отрицается относительно одного предмета. Например: «Число 12 –четное; квадрат АВСD не имеет острых углов; уравнение 23–х = 30 не имеет решения (в рамках начальных классов) и т. д.».

Помимо единичных суждений различают суждения частные и общие. В частных что–то утверждается или отрицается относительно некоторой совокупности предметов из данного класса или относительно некоторого подмножества данного множества предметов. Например: «Уравнение х – 7 = 10 решается на основе взаимосвязи между уменьшаемым, вычитаемым и разностью». В этом суждении речь идет об уравнении частного вида, представляющего собой подмножество множества всех уравнений, изучаемых в начальных классах.

В общих суждениях что–то утверждается или отрицается относительно всех предметов данной совокупности. Например:

«В прямоугольнике противоположные стороны равны». Здесь речь идет о любом, т.е. о всех прямоугольниках. Поэтому суждение является общим, хотя в данном предложении слово «всех» отсутствует. Любое уравнение в начальных классах решается на основе взаимосвязи между результатами и компонентами арифметических действий. Это также общее суждение, так как охватывает всевозможные уравнения, встречающиеся в курсе математики начальных классов.

Предложения, выражающие суждения, могут быть различными по форме: утвердительными, отрицательными, условными (например: «если число оканчивается нулем, то оно делится на 10»).

Как известно, в математике все предложения, за исключением исходных, как правило, доказываются дедуктивно. Суть дедуктивных рассуждений сводится к тому, что на основе некоторого общего суждения о предметах данного класса и некоторого единичного суждения о данном объекте высказывается новое единичное суждение о том же объекте. Общее суждение принято называть общей посылкой, первое единичное суждение – частной посылкой, новое единичное суждение – заключением. Пусть, например, требуется решить уравнение: 7*x=14. Для нахождения неизвестного множителя используется правило: «Если значение произведения разделить на один множитель (известный), то получим другой (значение неизвестного множителя)».