1) тогда и только тогда, когда точки
,
2) тогда и только тогда, когда точки
.
3. Теоремы о сложном отношении точек и прямых
Теорема 1.
При любом проективном преобразовании плоскости сложное отношение четырех точек прямой сохраняется.
Доказательство. Пусть – проективное преобразование плоскости
, прямая
,
; точки
переходят в отображении
в точки
. Как мы знаем, сужение
есть проективное отображение
. Это отображение вполне определяется упорядоченной парой реперов
, где
,
. Если
– координаты точки
в репере
, то эти же координаты имеет точка
в репере
. Но
,
. Теорема доказана.
Следствие. При любом проективном отображении одной прямой на другую сложное отношение четырех точек сохраняется.
Теорема 2.
Если биекция сохраняет сложное отношение любой четверки точек, то
– проективное отображение.
Доказательство. Пусть – различные точки прямой
и
их образы в отображении
. Существует единственной проективное отображение
, которое переводит точки
в точки
соответственно.
Если ,
и
, то по доказанному
.(3)
Если , то по условию
(4)
(3), (4)
и, значит, точки и
совпадают. Так как
, то такой вывод справедлив для любой точки
. Следовательно, данное нам отображение
совпадает с проективным отображением
. Теорема доказана.
История развития системы дополнительного образования детей в СССР
Десятилетие после Октября 1917 г. иногда называют "педагогическим ренессансом". Этот период, действительно, отличается разнообразием педагогических поисков и экспериментов, но вместе с тем он характеризуется, прежде всего, нарушением сложившегося баланса между государственным и частным об ...
Учитель и ученик … две основные фигуры в школе. Личности, чьи взаимоотношения на уроке и вне его непосредственно и решающе влияют на весь учебно-воспитательный процесс, определяют его успех. Не случайно так важно создание в школе атмосферы глубокого взаимопонимания, доброжелательности, уважения, сотрудничества.